La ecuación de segundo grado (2)

En realidad esta entrada, no trata directamente de dicha ecuación, sino que aparece de rebote. Se trata de hallar la proporción áurea por el método de Euclides.

Analizando el trabajillo encontrado, en una carpeta,

hace unos días, yo creo que se trata de un borrador,

que no se destruyó, al pasar el trabajo a limpio.

Tengo un recuerdo difuso, de haberlo hecho,

pegando las figuras  con pegamento de barra,

 ya que como decía en la anterior entrada,

los procesadores de texto de aquella época,

no insertaban imágenes.

 Afortunadamente en mi biblioteca particular,

tengo un ejemplar, edición facsímil,  de:

LOS SEIS LIBROS

PRIMEROS DE LA GEOMETRÍA

DE EVCLIDES.

Traduzidos en lengua Española por Rodrigo  çamorano Astrólogo

y Mathemático, y Cathedrático de Cosmographía por

su Magestad en la casa de la contratación de Sevilla

Dirigidos al ilustre señor Luciano de Negrón

Canónigo de la santa iglesia de Sevilla

1576

Estudio introductorio y notas

de José María Sanz Hermida.

Ediciones Universidad de Salamanca

Copio directamente de las fotocopias: “En los elementos de Euclides, proposición II.11: Cortar una recta dada, de manera que el rectángulo comprendido entre la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del otro segmento".

Afortunadamente también, en la página 81 de la Historia de las matemáticas, de Carl B. Boyer nos encontramos con este trabajo. Allí lo vemos mejor: “En los elementos de Euclides II,11, para dividir un segmento en media y extrema razón, en primer lugar construye Euclides el cuadrado ABCD del lado AB (ver figura), divide AC en dos partes iguales mediante el punto E. Traza el segmento EB y extiende el segmento CEA hasta F, de manera que EF=EB y, por último, obtiene el punto buscado H completando el cuadrado AFGH; se comprueba que H nos resuelve el problema mostrando fácilmente que AB/AH = AH/HB”.

Se llega fácilmente a la proporción áurea, considerando, si AC = 2,

Por tanto: 

Cualquier estudiante aventajado de 3º de E.S.O., puede darse cuenta que cualquiera de esas fracciones puede transformarse fácilmente en el llamado número áureo: 

¿Y dónde aparece aquí la ecuación de segundo grado? Si no utilizamos el teorema de Pitágoras FA es desconocido, y lo llamamos x, por tanto:  

de donde sacamos la ecuación de segundo grado, 

x²-2x-4 = 0

Resolviéndola llegamos al resultado anterior, tomando la solución positiva. No hace falta señalar, que este proceso puede hacerse para cualquier cuadrado de lado a