"Obras imprescindibles de espiritualidad" de Ramiro Calle

"El corazón de la meditación budista" de Nyanaponika Thera 

         En la extensa bibliografía de Ramiro Calle, ¿casualmente? Me he topado con este libro, publicado en 2005 por la editorial Kailás.

Al ojearlo, lo he abierto por el capítulo correspondiente al subtítulo de la entrada.

         El libro comenta unas cincuenta obras de espiritualidad, entre las que se encuentran “Las moradas” de Santa Teresa y “Llama de amor viva” de San Juan de la Cruz; pero no voy a comentar el libro, sería una labor bastante ardua. Voy a fijarme  en el capítulo mencionado: "El corazón de la meditación budista" de Nyanaponika Thera.  

         Explica Ramiro Calle la forma en que llegó a conocer este libro y que como consecuencia, conoció al autor del mismo, del que nunca había oído hablar: Un día de 1978, se le presentó en el Centro de Yoga, un joven, español que reside en Alemania y le da una obra sobre la meditación budista, para que la traduzca al castellano. El joven se marcha y nunca volvió a saber de él. Cuatro años más tardes la obra aparece traducida a nuestro idioma.

         Ramiro Calle explica brevemente, en dicho capítulo, la estructura y contenido del libro. Entresaco algunos párrafos: "Esta obra es uno de los estudios más completos, didácticos y prácticos... sobre el sermón de Buda llamado “Satipatthana”, que recoge las enseñanzas y métodos para superar el dolor y la aflicción."  Y más adelante: “En los primeros cuatro capítulos,... se extiende sobre la atención y la comprensión clara, cómo desarrollarlas y desencadenarlas y su alcance, propósito y beneficios. Lo hace de manera sumamente rigurosa…" es una forma de “mantener la mente libre de influencias engañosas, porque nos enseña a hacer lo adecuado y hacerlo correctamente y sirve al propósito señalado por el Buda: la extinción del sufrimiento”.

         Nyanaponika, dedica todo un capítulo a los distintos objetos de atención: el cuerpo, la sensación, estados mentales y la consciencia.

Respecto al capítulo "La cultura de la mente", afirma que "es una verdadera guía y un estímulo para servirse de todos los recursos internos y para ayudarse a sí mismo. Nos va refiriendo como la aplicación de la atención recta y pura en la vida diaria mejora el trabajo cotidiano, consiguiendo que las pequeñas cosas de la vida se tornen maestros de gran sabiduría, logrando la simplicidad y naturalidad de un mundo que “se vuelve cada día más complicado y problemático y que depende cada vez más de mecanismos artificiales”… previene contra actitudes extremas y ayuda a no dejarse arrastrar por impulsos o fuerzas ciegas del inconsciente…”

         “La obra contiene una segunda parte que recoge el texto básico del “Satipatthana Suta” y una tercera parte de sumo interés… (con) textos que no solamente orientan en la práctica,… sino que sirven para la motivación y reflexión”.

         En fin, puede ser de gran ayuda, en nuestro crecimiento personal. “ El corazón de la meditación…” Se encuentra en internet en PDF, y varias entradas sobre el texto y el autor.

Trabajo completo, de la ecuación de segundo grado, en PDF

Reúne las entradas

del 8 y 13 de octubre de 2015,

del 13 de noviembre de 2015  

y el 18 de enero de 2016.

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La ecuación de 2º grado (y 4)

(En una próxima entrada publicaré, todo este tema, en un solo documento)

4.1 Al-Khowarizmi

En la traducción latina del “Álgebra” de Al-Khowarizmi se expone la solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar simultáneamente en presencia de los tres posibles tipos de cantidades: cuadrados, raíces, números, (es decir, x², x y números (a)) tal como expresaba Abu-Kamil  Shoja ben Aslam[1], matemático ligeramente posterior:

“La primera cosa que es necesaria para los estudiantes de esta ciencia (el álgebra) es la de entender las tres especies que menciona Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi en su libro. Estas son las raíces, los cuadrados y los números”.

Las ecuaciones clasificadas son las siguientes:

1.     Cuadrados igual a raíces. En notación moderna 5x²=3x, x=3/5, excluye la solución x=0

2.     Cuadrados igual a números

3.     Cuadrados y raíces igual a números

4.     Cuadrados y números igual a raíces. En este caso se propone un ejemplo:  x²-21=10x, en el que se calculan las dos raíces, x=3 y x=7, obtenidos a partir de la regla 

 llamando la atención de lo que nosotros llamamos discriminante de la ecuación, que tiene que ser positivo

5.     Raíces y números igual a cuadrados

6.     Raíces y números igual a cuadrados perfectos (el coeficiente de x² es uno) advirtiendo de que si este coeficiente no es uno, se debe reducir la ecuación a esta forma dividiendo ambos miembros por este coeficiente.

En todos los casos se dan recetas para completar o modificar el cuadrado tal como veremos a continuación: en la ecuación x²+bx=c, 0<c, traza Al-Khowarizmi un cuadrado para representar x² y sobre los cuatro lados, construye cuatro rectángulos de b/4 unidades de ancho, añadiéndole cuatro cuadrados en las esquinas, de área b²/16, cada uno. Por tanto el cuadrado nuevo tiene de área c-b²/4, 

a partir de aquí, no es difícil ver que

De hecho es lo que hacemos para resolver la ecuación de segundo grado, obsérvese, que hemos aplicado, sin darnos cuenta, la fórmula, pues a=1.

4.2 Por iteración

Supongamos conocidas las soluciones de la ecuación x ₁ y x₂: Si factorizamos el trinomio, nos queda:

ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂) = a(x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂) = 0,

e identificando coeficientes, llegamos a ,    

La segunda de estas dos igualdades nos servirá para intentar resolver por iteración la ecuación, aunque hay que hacer uso de la calculadora:

 Si en la ecuación general ax²+bx+c=0, pasamos al segundo miembro c y sacamos factor común x, en el primero, nos queda: x(ax+b) = -c, hacemos la “chapuza” de despejar x, llegamos a:

Ahora damos un valor a x en el denominador, con lo que obtenemos otro valor a la x despejada, que llamaremos x₁, con este valor hallamos x₂ = c/ax₁, con este valor volveos a repetir el proceso, nos van a aparecer dos sucesiones, con los valores de x₁ y x₂ respectivamente, si estas sucesiones son convergentes, su límite es precisamente x₁ y x₂, si son divergentes, por este método no podemos hallar la solución. Podríamos intentar con otro valor inicial.

4.3 Descartes usa el compás

Remitimos al lector a la entrada del 13 de setiembre de 2015 de este mismo blog.

4.4 Un sencillo programa en Basic

Cuando se realizaron estos apuntes, allá por los finales de los 80 y principio de los 90, comenzábamos a introducir la informática en los institutos y hacíamos estas “cosillas” con mucha ilusión. Muestro aquí un programa, muy deficiente, por cierto; pero que funcionaba, para muestra sobre todo a las nuevas generaciones, a fin de que valoren, que las cosas no han surgido por “generación espontánea”.

Este programa, no utiliza la fórmula, que conocen los escolares de 4º de ESO. Es fácil encontrar programas de ese tipo, por ejemplo en Wikipedia:

https://es.wikipedia.org/wiki/QBASIC

El que propongo, sacado de los apuntes encontrados entre los papeles a desechar, está hecho por el equipo, de profesores al que yo pertenecía, y que ahora he pasado a limpio, y se basa en el método de iteración propuesto anteriormente es el siguiente:

10  REM SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

20  INPUT “COEFICIENTES” a, b, c

30  PRINT “SI ESTE PROGRAMA NO PARA”

40  PRINT “ES QUE LA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCION”

50  PRINT “---------------------------------------------------------“

60  PRINT “SUPONEMOS QUE  X=-1610”

70  LET x=-1610

80  LET z= -c/(a*x+b)

90  IF x=z THEN PRINT “la solución x(1) es “ x

100 IF x=z THEN GOTO 150

110 LET x=z

120 GOTO 80

130 STOP

140 CLS

150 LET x2 = c/(x*a)

140 PRINT “Las soluciones son X1= “;x, “X2= “;x2

4.4 Descartes usa el  compás. Este apartado, está desarrollado en la entrada, en este mismo blog,  del 13 de septiembre de 2015

RESUMIENDO

Para resolver una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0, procedemos así:

1.- Sacamos el coeficiente principal, a, factor común:  a(x²+(b/a)x+c/a) = 0

2.- Completamos el cuadrado, compensando lo que añadimos a quitamos:

3.- Si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es positivo, tenemos una diferencia de cuadrados, que como es sabido es igual a “suma por diferencia”:

No es difícil ver, que de aquí sale la famosa fórmula:

Por el contrario si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es negativo, tenemos una suma de cuadrados y por consiguiente la ecuación no tiene solución.

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[1] Carl B. Boyer, Historia de las Matemáticas, pág. 298

Las abarcas desiertas

Poema de Miguel Hernández.

Fotografía de Rosa Gómez,  obtenida en la noche de Reyes de 2015. La luna cual Sagrada Hostia, detrás de la cruz de la espadaña, parece recordarnos, el frío que muchos niños estarán pasando esta noche, en contraste con la opulencia y despilfarro de otros.

"Por el cinco de enero,
cada enero ponía
mi calzado cabrero
a la ventana fría.

Y encontraban los días,
que derriban las puertas,
mis abarcas vacías,
mis abarcas desiertas.

Nunca tuve zapatos,
ni trajes, ni palabras:
siempre tuve regatos,
siempre penas y cabras.

Me vistió la pobreza,
me lamió el cuerpo el río,
y del pie a la cabeza
pasto fui del rocío.

Por el cinco de enero,
para el seis, yo quería
que fuera el mundo entero
una juguetería.

Y al andar la alborada
removiendo las huertas,
mis abarcas sin nada,
mis abarcas desiertas.

Ningún rey coronado
tuvo pie, tuvo gana
para ver el calzado
de mi pobre ventana.

Toda la gente de trono,
toda gente de botas
se rió con encono
de mis abarcas rotas.

Rabié de llanto, hasta
cubrir de sal mi piel,
por un mundo de pasta
y un mundo de miel.

Por el cinco de enero,

de la majada mía
mi calzado cabrero
a la escarcha salía.

Y hacia el seis, mis miradas
hallaban en sus puertas
mis abarcas heladas,
mis abarcas desiertas.".

 Publicado el 2.1.1936 en Ayuda, Madrid, Semanario de solidaridad número 36.