Generación de ternas pitagóricas

Una terna de números racionales positivos, (a, b, c) se dice que es pitagórica, si a²+b²=c²

Tomemos dos números m, n racionales positivos, de manera que a=c-m y b=c-n, siendo a y b los catetos de un triángulo rectángulo y c la hipotenusa. Aplicando el teorema de Pitágoras:

a²+b²=(c-m)²+(c-n)²=c².

Desarrollando y simplificando llegamos a una ecuación de 2º grado, en la que tomamos como incógnita  c: c²-2(m+n)c+(m²+n²)=0.

La solución es: 

 

El discriminante de dicha ecuación es 8mn y para que c sea un número racional tiene que ser un cuadrado perfecto. Supongamos que  dicho discrimínate vale 64, por tanto 8mn=64. Buscamos valores para m y n a partir de la ecuación anterior y para cada valor así obtenido  de c tenemos una terna. El ejemplo más sencillo es si m=2 y n=4, tendríamos con estos valores el valor de c=10, a=6 y b=8

NOTAS:

1.     A veces en la solución de la ecuación de 2º grado aparecen valores negativos, por lo que hay que descartarlas

2.     este método también sirve para obtener ternas con números racionales no enteros. Sugerimos al lector que pruebe con 8mn=100, o con cualquier otro cuadrado perfecto (no es necesario que sea entero)