La ecuación de segundo grado (1)

Revisando y rompiendo papeles, me he encontrado con un trabajo sobre este tema, escrito por mí,  en 1992, en tiempos casi, de la “edad media” de la informática, en un ordenador Inves, e impreso en una impresora de agujas. Aquel ordenador no tenía disco duro y almacenábamos en los famosos discos flexibles. Debe estar guardado el trabajo en uno de esos discos, que debe estar perdido, posiblemente para siempre en un rincón del cuarto trastero. Escaneado el trabajo, que consta de seis páginas, me propongo ir desgranando, en seis entradas, de este humilde blog, convenientemente corregido, pues hay algún error de poca monta, el mismo. Nótese que quedaron, huecos para las figuras. Aquellos procesadores de texto no daban para tanto. Posiblemente, era el famoso del Open Acces, pues el  “WordPerfect”, era muy bueno. Todavía lo recordamos con un poco de nostalgia.

Copio literalmente:

Pretendemos con este trabajo, dirigido a los alumnos del 4º curso de la ESO (Opción B) además de que sepan manejar la ecuación de 2º grado, desarrollen estrategias heurísticas para su resolución y para ello hacemos un recorrido informal a través de la Historia de las matemáticas que ha conducido a la popular y conocida fórmula. Al mismo tiempo queremos resaltar el gran esfuerzo que ha supuesto a la humanidad logros aparentemente “de poca importancia”, para que nuestros alumnos, acostumbrados a encontrar todo trillado sepan valorar en su justa medida.

Material: lápiz con goma de borrar incorporada, papel milimetrado (o cuadriculado), papel “para hacer cuentas”, regla y compás. Recomendamos tener a mano una calculadora para determinadas actividades.

1. NO ES DE AHORA

La resolución de las ecuaciones cuadráticas completas parece haber superado la capacidad algebraica de los egipcios. Sin embargo en 1930 se descubrió (Otto Neugebauer) que tales ecuaciones habían sido ya manejadas con gran soltura por los babilonios. Hay un problema[i] en el que se pide “Hallar el lado de un cuadrado en el que el área menos el lado es igual a 14,30 (en notación sexagesimal)[ii] Los babilonios operaban con cantidades heterogéneas, sumaban longitudes con áreas, etc…)

La solución a dicho problema viene explicada por el escriba de la forma siguiente:

“Toma la mitad de 1 (en sexagesimal 0;30) y multiplica 0;30 por 0;30 que es 0;15, suma este número a 14,30 y lo que da 14,30;15, es el cuadrado de 29;30. Ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado del cuadrado”.

Naturalmente, la ecuación de segundo grado que se plantea es, con notación moderna y sistema  de numeración decimal:

x²-x-870=0

Si los alumnos resuelven esta ecuación traduciendo previamente la notación sexagesimal a la decimal, se darán cuenta que el escriba ha utilizado la fórmula, aunque ha obtenido sólo la solución positiva. Lógico por otra parte al tratarse de un área.

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[i] Citado en la pág. 56 de La Historia de las matemáticas, de Carl B. Boyer, Ed. Alianza Universidad Textos

[ii] El sistema de numeración sexagesimal utilizado por los babilonios, teóricamente tendría que tener 59 dígitos, sin incluir el cero. Actualmente un número escrito en ese sistema, se ha convenido  escribirlo, separando cada dos cifras  por comas y la parte decimal por punto y coma. Nótese que no puede haber dos cifras seguidas, que formen par, mayores que 59.

Ejemplo 12,45;30,28 = 12*60+45+ 30/60+28/60²