La ecuación de
2º grado (y 4)
(En una próxima entrada publicaré, todo este tema, en un solo documento)
4.1
Al-Khowarizmi
En la traducción latina del “Álgebra” de Al-Khowarizmi
se expone la solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al
considerar simultáneamente en presencia de los tres posibles tipos de
cantidades: cuadrados, raíces, números, (es decir, x2, x y números
(a)) tal como expresaba Abu-Kamil Shoja
ben Aslam,
matemático ligeramente posterior:
“La primera cosa que es necesaria para los estudiantes
de esta ciencia (el álgebra) es la de entender las tres especies que menciona
Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi en su libro. Estas son las raíces, los
cuadrados y los números”.
Las ecuaciones clasificadas son las siguientes:
1.
Cuadrados igual a raíces. En notación moderna
5x2=3x, x=3/5, excluye la solución x=0
2.
Cuadrados igual a números
3.
Cuadrados y raíces igual a números
4.
Cuadrados y números igual a raíces. En este
caso se propone un ejemplo: x2-21=10x,
en el que se calculan las dos raíces, x=3 y x=7, obtenidos a partir de la regla
llamando la atención de lo que nosotros
llamamos discriminante de la ecuación, que tiene que ser positivo
5.
Raíces y números igual a cuadrados
6.
Raíces y números igual a cuadrados
perfectos (el coeficiente de x2 es uno) advirtiendo de que si este
coeficiente no es uno, se debe reducir la ecuación a esta forma dividiendo
ambos miembros por este coeficiente.
En
todos los casos se dan recetas para completar o modificar el cuadrado tal como
veremos a continuación: en la ecuación x2+bx=c, 0<c, traza
Al-Khowarizmi un cuadrado para representar x2 y sobre los cuatro
lados, construye cuatro rectángulos de b/4 unidades de ancho, añadiéndole
cuatro cuadrados en las esquinas, de área b2/16, cada uno. Por tanto
el cuadrado nuevo tiene de área c-b2/4,
a partir de aquí, no es
difícil ver que
De hecho es lo que hacemos para resolver
la ecuación de segundo grado, obsérvese, que hemos aplicado, sin darnos cuenta,
la fórmula, pues a=1.
4.2 Por iteración
Supongamos
conocidas las soluciones de la ecuación x 1 y x2: Si
factorizamos el trinomio, nos queda:
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
= a(x2-(x1+x2)x+x1x2) =
0,
e
identificando coeficientes, llegamos a
,
La
segunda de estas dos igualdades nos servirá para intentar resolver por
iteración la ecuación, aunque hay que hacer uso de la calculadora:
Si en la ecuación general ax2+bx+c=0,
pasamos al segundo miembro c y sacamos factor común x, en el primero, nos
queda: x(ax+b) = -c, hacemos la “chapuza” de despejar x, llegamos a:
Ahora
damos un valor a x en el denominador, con lo que obtenemos otro valor a la x
despejada, que llamaremos x1, con este valor hallamos x2 =
c/ax1, con este valor volveos a repetir el proceso, nos van a
aparecer dos sucesiones, con los valores de x1 y x2
respectivamente, si estas sucesiones son convergentes, su límite es
precisamente x1 y x2, si son divergentes, por este método
no podemos hallar la solución. Podríamos intentar con otro valor inicial.
4.3 Descartes usa el compás
Remitimos al lector a la entrada del 13 de setiembre de 2015 de este mismo blog.
4.4 Un sencillo programa en Basic
Cuando
se realizaron estos apuntes, allá por los finales de los 80 y principio de los
90, comenzábamos a introducir la informática en los institutos y hacíamos estas
“cosillas” con mucha ilusión. Muestro aquí un programa, muy deficiente, por
cierto; pero que funcionaba, para muestra sobre todo a las nuevas generaciones,
a fin de que valoren, que las cosas no han surgido por “generación espontánea”.
Este
programa, no utiliza la fórmula, que conocen los escolares de 4º de ESO. Es
fácil encontrar programas de ese tipo, por ejemplo en Wikipedia:
El
que propongo, sacado de los apuntes encontrados entre los papeles a desechar,
está hecho por el equipo, de profesores al que yo pertenecía, y que ahora he
pasado a limpio, y se basa en el método de iteración propuesto anteriormente es
el siguiente:
10 REM SOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
20 INPUT “COEFICIENTES”
a, b, c
30 PRINT “SI ESTE
PROGRAMA NO PARA”
40 PRINT “ES QUE LA
ECUACIÓN NO TIENE SOLUCION”
50 PRINT “---------------------------------------------------------“
60 PRINT “SUPONEMOS QUE X=-1610”
70 LET x=-1610
80 LET z= -c/(a*x+b)
90 IF x=z THEN PRINT “la
solución x(1) es “ x
100 IF x=z THEN
GOTO 150
110 LET x=z
120 GOTO 80
130 STOP
140 CLS
150 LET x2 = c/(x*a)
140 PRINT “Las soluciones son X1= “;x, “X2= “;x2
4.4 Descartes usa el
compás. Este apartado, está desarrollado en la entrada, en este mismo
blog, del 13 de septiembre de 2015
RESUMIENDO
Para resolver una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, procedemos
así:
1.-
Sacamos el coeficiente principal, a, factor común: a(x2+(b/a)x+c/a) = 0
2.-
Completamos el cuadrado, compensando lo que añadimos a quitamos:
3.-
Si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es positivo, tenemos una
diferencia de cuadrados, que como es sabido es igual a “suma por diferencia”:
No es difícil ver, que de aquí sale la
famosa fórmula:
Por el contrario si lo que hemos
compensado para completar el cuadrado es negativo, tenemos una suma de
cuadrados y por consiguiente la ecuación no tiene solución.
