La ecuación de
segundo grado (3)
Continuando
con la tarea de “pasar a limpio” el borrador encontrado entre papeles viejos,
hoy vamos a dedicar esta entradilla a un problema planteado por Diofanto (nacido entre 200-214, fallecido entre 284-298)
y a otro de Liu Hui, que vivió en el reino de
Wei,
en el
periodo de los Tres Reinos (184-283)
En los “Libros aritméticos” de Diofanto, (problema 26,
libro I) aparece este problema: “Dados dos números, encontrar otro que
multiplicado por cada uno de ellos dé respectivamente un cuadrado perfecto y la
raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto”.
La solución que da Diofanto:
“Sean 200 y 5 los números dados y en número buscado 1
aritmos[i].
Entonces, si el número buscado se multiplica por 200 unidades, da 200 aritmos,
y si se multiplica por 5 unidades da 5 aritmos. Ahora bien, es preciso que uno
de esos números sea un cuadrado perfecto y que el otro sea la raíz cuadrada de ese
cuadrado perfecto; entonces, si se eleva al cuadrada 5 aritmos se obtienen 25
aritmos al cuadrado, que es igual a 200 aritmos. Dividámoslo todo por el
aritmos; se sigue de ello que 25 aritmos son iguales a 200 unidades, y el aritmos
resulta ser 8 unidades, lo que acopla el enunciado”
Actualmente, es un problema elemental de E.S.O. Si nos
dan 200 y 5 y el número que nos piden x, tendríamos que (5x)2=200x,
simplificando x2=8x, con lo x=8, excluyendo la solución x=0.
En el libro “Aritmética en nueve secciones”,
recopilación china de trabajos anteriores a nuestra era, comentada e
interpretada por Liu Hui en el siglo II aparece este problema: “Existe una
puerta cuya altura y anchura son desconocidas, y existe una vara de longitud
también desconocida. Sólo se sabe que la vara es 4 pies más larga que la anchura
de la puerta y dos pies más que su altura y además la vara es igual de larga
que la diagonal de la puerta. Se pide averiguar las tres longitudes”.
La solución dada por Liu Hui:
La anchura de la puerta se obtiene sumando lo que
exceda la vara de la altura y la raíz cuadrada del doble producto de los dos
excesos. Esta última cantidad, sumada ahora a lo que exceda la vara de la
anchura, nos da la altura de la puerta, y si la sumamos a los dos excesos, nos
da la longitud de la vara:
Anchura: 2+RC(2.4.2)[ii]=2+4
= 6 pies
Altura: 4+RC(2.4.2)=4+4= 8 pies
Vara: 2+4+RC(2.4.2)=10
Con notación actual la solución, utilizando el teorema
de Pitágoras es: si x es la longitud de la vara, x-4 es la anchura de la
puerta, x-2 la altura. Luego:
x2=
(x-2)2+(x-4)2
Operando llegamos a
x2-12x+20 = 0, podíamos resolver esta ecuación y desechar la
solución x=2, por dar una solución negativa para la anchura y una altura cero,
con lo que no hay puerta; pero mejor es sumar 16 en cada miembro, con lo cual:
x2-12x+36=16, o lo que es lo mismo:
(x-6)2=16,
con lo que x-6 = 4, por tanto x=10
Trasladando de forma genérica este problema a nuestro
tiempo podíamos enunciarlo así: “La diagonal de una puerta excede en a unidades
a su anchura y en b unidades a su altura. Calcúlese sus dimensiones”.
Si x es la diagonal, planteando la ecuación por el teorema
de Pitágoras, cualquier estudiante espabilado de secundaria llega a que
x=
a+b+RC(2ab)
No hay comentarios:
Publicar un comentario